A New Approach to the Fundamental Theorem of Surface Theory

The fundamental theorem of surface theory classically asserts that, if a field of positive-definite symmetric matrices (aαβ ) of order two and a field of symmetric matrices (bαβ ) of order two together satisfy the Gauss and Codazzi-Mainardi equations in a connected and simply-connected open subset ω of R2, then there exists an immersion θ : ω→R3 such that these fields are the first and second fundamental forms of the surface θ(ω) and this surface is unique up to proper isometries in R3. In this paper, we identify new compatibility conditions, expressed again in terms of the functions aαβ and bαβ , that likewise lead to a similar existence and uniqueness theorem. These conditions take the form ∂1A2−∂2A1 +A1A2−A2A1 = 0 in ω, where A1 and A2 are antisymmetric matrix fields of order three that are functions of the fields (aαβ ) and (bαβ ), the field (aαβ ) appearing in particular through its square root. The unknown immersion θ : ω→R3 is found in the present approach in function spaces “with little regularity”, viz., W 2,p loc (ω;R 3), p > 2. Une nouvelle approche du théorème fondamental de la théorie des surfaces. RÉSUMÉ. Le théorème fondamental de la théorie des surfaces affirme classiquement que, si un champ de matrices (aαβ ) symétriques définies positives d’ordre deux et un champ de matrices (bαβ ) symétriques d’ordre deux satisfont ensemble les équations de Gauss et Codazzi-Mainardi dans un ouvert ω ⊂ R2 connexe et simplement connexe, alors il existe une immersion θ : ω → R3 telle que ces deux champs soient les première et deuxième formes fondamentales de la surface θ(ω), et cette surface est unique aux isométries propres de R3 près. Dans cet article, nous identifions de nouvelles conditions de compatibilité, exprimées à nouveau à l’aide des fonctions aαβ et bαβ , qui conduisent aussi à un théorème analogue d’existence et d’unicité. Ces conditions sont de la forme ∂1A2−∂2A1 +A1A2−A2A1 = 0 dans ω, où A1 et A2 sont des champs de matrices antisymétriques d’ordre trois, qui sont des fonctions des champs (aαβ ) et (bαβ ), le champ (aαβ ) apparaissant en particulier par l’intermédiaire de sa racine carrée. L’immersion inconnue θ : ω → R3 est trouvée dans cette approche dans des espaces fonctionnels “de faible régularité”, à savoir W 2,p loc (ω;R 3), p > 2. A NEW APPROACH TO THE FUNDAMENTAL THEOREM OF SURFACE THEORY 1